Área de Regiões Poligonais: o triângulo

Área de Regiões Poligonais: o triângulo 

Antes de iniciarmos o estudo do cálculo de área de regiões poligonais é preciso ter bem definido o que são essas regiões e, também, passar a fazer uso das fórmulas que nos levam à mesma. 

O problema de muitos estudantes do Fundamental II e Médio é justamente esse:  não seguirem as fórmulas, tentando lembrar os passos do professor para ter uma resposta final. O mais interessante é que, os mesmos não percebem que essa tão procurada resposta final, pelo professor, veio pelo cumprimento da fórmula.

Ponham em mente, antes de iniciarmos esse estudo, que  FÓRMULAS SÃO COMO REGRAS: FORAM FEIAS PARA SEREM SEGUIDAS.

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REGIÕES POLIGONAIS

Observe a imagem

Figura 1

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). 

Na gravura acima, apresento uma região não- poligonal (figura em branco)  que representa apenas o ligamento das retas A, B, C e D; e uma região poligonal (figura colorida), que nada mais é do que a reunião de todos os pontos internos da figura anterior a ela. . 

Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos", como mostra a figura a seguir.

Figura 2

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras.

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.
2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.

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 Regiões Triangulares

Exemplo: A área da figura poligonal ABCDE pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.

Figura 3

 Se observarmos atentamente a figura, veremos que todos os triângulos que foi possível formar internamente( região poligonal)  são congruentes. Logo, calculamos a área de um e multiplicamos essa área pelo número total de triângulos internos, o que equivale, como você já sabe , a  somar as áreas de todos os triângulos. Como as figuras  obtidas com a decomposição são triângulos retângulos, temos que:

                                At= B.h  

                                                         2  
onde B é a base do trângulo e h sua altura                                               

 Como são em 8 as regiões triangulares  da figura 3, a fórmula fica:

A.T(área total)= 8x B.h   

                               2